Выяснив возможность создания синтетического стрэддла в статье MBA, используя только один вид опциона и базовый актив, пойдем дальше и рассмотрим дельту синтетики, а точнее — поведение экспозиции в зависимости от волатильности. Прочие параметры не играют роли: в определенный момент времени и в границах одного и того же рынка мы имеем неизменную ставку без риска, одинаковые временные рамки потенци-

Таблица 3-2.   Сравнение характеристических показателей опционного и синтетического стрэддла (90—дневные фондовые опционы на 100 акций, волатильность 50 %, тэта в терминах дебет/кредит)

Цена	Стоимость	Прибыль/	Дельта	Гаииа	Вега	Тэта на 365-	Тэта на 253-
актива	опционной	убыток	позиции			дневной	дневной
	позиции	позиции				основе	основе
110	2,234	+262 .	+40.1	+2.5	+38.0	+10.68	+ 15.42
108	2,159	+187	+34.8	+2.7	+38.6	+10.84	+ 15.66
106	2,095	+123	+29.3	+2.8	+39.1	+10.95	+ 15.81
104	2,042	+70	+23.5	+3.0	+39.4	+10.99	+ 15.88
102	2,001	+29	+ 17.5	+3.1	+39.4	+10.98	+ 15.85
100	1,972	+0	+ 11.3	+3.2	+39.2	+10.89	+ 15.73
98	1,956	-16	+4.8	+3.3	+38.8	+10.73	+ 15.49
96	1,953	-19	-1.8	+3.3	+38.0	+ 10.49	+ 15.15
94	1,963	-9	-8.6	+3.4	+37.0	+10.18	+ 14.70
92	1,987	+15	-15.4	+3.4	+35.8	+9.80	+ 14.15
90	2,025	+53	-22.3	+3.4	+34.3	+9.35	+ 13.50
Позиция: 100 коротких акций и два длинных опциона колл с ценой исполнения 100
110	3,277	+262	+40.1	+2.5	+38.0	+11.15	+ 16.11
108	3,002	+187	+34.8	+2.7	+38.6	+11.32	+ 16.34
106	2,738	+123	+29.3	+2.8	+39.1	+11.42	+ 16.50
104	2,485	+70	+23.5	+3.0	+39.4	+ 11.47	+ 16.57
102	2,244	+29	+ 17.5	+3.1	+39.4	+ 11.45	+ 16.54
100	2,015	+0	+ 11.3	+3.2	+39.2	+ 11.36	+ 16.41
98	1,799	-16	+4.8	+3.3	+38.8	+ 11.20	+ 16.18
96	1,596	-19	-1.8	+3.3	+38.0	+ 10.97	+15.84
94	1,406	-9	-8.6	+3.4	+37.0	+ 10.66	+ 15.39
92	1,230	+15	-15.4	+3.4	+35.8	+10.27	+ 14.84
90	1,068	+53	-22.3	+3.4	+34.3	+9.82	+ 14.19
Позиция: 100 длинных акций и два длинных опциона пут с ценой исполнения 100
110	1,191	+262	+40.1	+2.5	+38.0	+10.20	+ 14.73
108	1,316	+ 187	+34.8	+2.7	+38.6	+10.36	+ 14.97
106	1,452	+123	+29.3	+2.8	+39.1	+ 10.47	+ 15.12
104	1,599	+70	+23.5	+3.0	+39.4	+ 10.52	+ 15.19
102	1,758	+29	+ 17.5	+3.1	+39.4	+10.50	+ 15.17
100	1,929	+0	+ 11.3	+3.2	+39.2	+10.41	+ 15.04
98	2,113	-16	+4.8	+3.3	+38.8	+10.25	+ 14.80
96	2,310	-19	-1.8	+3.3	+38.0	+10.01	+ 14.46
94	2,520	-9	-8.6	+3.4	+37.0	+9.70	+ 14.02
92	2,744	+15	-15.4	+3.4	+35.8	+9.32	+ 13.46
90	2,982	+53	-22.3	+3.4	+34.3	+8.87	+ 12.81

ально доступных для операций инструментов (время до истечения опционных контрактов), а также почти постоянное соотношение между текущей ценой базового актива и ценами исполнения опционов на него (отношение цены базового актива к цене исполнения опциона строго «у денег» вообще всегда равно единице). В таблице 3 — 3 представлена экспозиция купленных синтетических стрэддлов, созданных с помощью фондовых опционов с различающимися величинами подразумеваемой волатильности при ставке без риска 5.25%.

Таблица 3-3.   Экспозиция длинных синтетических стрэддлов,
созданных с помощью 100 коротких акций и двух 90-дневных опционов колл с ценой исполнения 100, различающихся волатильностью

Цена актива	Подразумеваемая волатильность
	10%	25%	50%	100%
110	+97.3	+65.0	+42.5	+35.9
108	+93.4	+56.8	+37.3	+33.2
106	+85.5	+47.5	+31.9	+30.5
104	+71.8	+37.0	+26.2	+27.6
102	+50.6	+25.5	+20.2	+24.7
100	+22.5	+13.2	+ 14.0	+21.6
98	-9.7	+0.3	+7.6	+18.5
96	-40.8	-12.9	+0.9	+15.2
94	-66.3	-26.0	-5.8	+11.9
92	-83.7	-38.7	-12.7	+8.5
90	-93.4	-50.5	-19.6	+5.0

Обратите внимание на сильное изменение экспозиции стратегии при одних и тех же ценах базового актива для разных значений подразумеваемой волатильности. С ее ростом наблюдается явное смещение суммарной дельты стратегии в длинную сторону. Если бы мы сейчас рассматривали не фондовые опционы, исполняемые на 100 акций, а рынок, на котором каждому опциону соответствует один базовый актив, у нас принципиально ничего не изменилось бы. Просто величины в таблице представились бы в виде долей, то есть уменьшились бы в 100 раз.

Поведение экспозиции длинных и коротких синтетических стрэддлов, созданных из 100 акций и двух опционов колл, соответственно относящихся к покупке или продаже волатильности при 50 — процентной подразумеваемой волатильности. Следует подчеркнуть: характер профиля является срезом экспозиции в данный момент времени, поэтому с течением времени его изгиб будет меняться. Длинная волатильность направляется из отрицательной области ниже цены исполнения в положительную зону выше цены исполнения. Короткая волатильность исходит из положительной области ниже цены исполнения и уходит в отрицательную зону выше цены исполнения опционов. Точка пересечения профиля волатильности с осью абсцисс указывает на цену базового актива, где выполняется условие дельта — нейтральности. Корректировка позиции, или ребалансировка, а также рехеджирование, о чем пойдет речь позже, — преследует цель удержания экспозиции на нулевой отметке (по вертикальной шкале) для данной цены, поэтому динамическое управление на основе нейтральности относительно рынка устраняет необходимость обращаться к профилю экспозиции и делает его малопригодным в анализе поведения стратегии. Единственный случай, когда он может потребоваться, — это выяснить, с покупкой волатильности мы имеем дело или с ее продажей.

Посмотрим теперь, как поведет себя дельта стратегии (ее экспозиция) при увеличении срока до истечения. Таблица 3 — 4 представляет необходимые сведения для анализа, где для создания синтетического стрэддла использовались фондовые опционы с ценой исполнения 100 (исполняемые на 100 акций) при 50 — процентной волатильности.

Таблица 3-4.   Экспозиция синтетических стрэддлов, созданных с помощью 100 коротких акций и двух опционов колл с ценой исполнения 100, волатильностью 50 % при различных сроках до истечения

Цена актива	Подразумеваемая волатильность
	30 дней	90 дней	180 дней	365 дней	730 дней
110	+55.7	+42.5	+39.7	+41.5	+47.6
108	+47.7	+37.3	+36.1	+38.9	+45.9
106	+38.9	+31.9	+32.2	+36.3	+44.1
104	+29.3	+26.2	+28.2	+33.5	+42.3
102	+19.0	+20.2	+24.0	+30.7	+40.4
100	+8.1	+ 14.0	+19.7	+27.7	+38.4
98	-3.1	+7.6	+15.2	+24.7	+36.4
96	-14.5	+0.9	+ 10.6	+21.5	+34.3
94	-25.9	-5.8	+5.8	+18.3	+32.2
92	-36.9	-12.7	+0.9	+ 14.9	+29.9
90	-47.3	-19.6	-4.0	+11.5	+27.6

Обратите внимание на аномалию: ниже цены исполнения опционов колл, как и ожидается, мы видим планомерное увеличение экспозиции с увеличением срока до истечения, а выше цены исполнения снижение экспозиции не отличается регулярностью — вначале она действительно уменьшается, а потом начинает возрастать. В чем здесь причина? Это важный вопрос. Дело в том, что опцион фактически торгуется на форвардную цену базового актива, а так как в данном случае мы рассматриваем фондовый рынок, предполагающий рост цен с большей вероятностью, чем их снижение, то это находит свое отражение в дельте опционов. В реальности волатильность опционов разных сроков до истечения на один и тот же актив различается (опционы с меньшим сроком жизни характеризуются более высокой волатильностью по сравнению с более долгоживущими опционами), что приводит к устранению аномалии, несколько выравнивая тенденцию экспозиции. Но если абстрагироваться от наблюдаемого в действительности и попытаться выяснить будущее поведение дельты определенного опциона, мы получим довольно любопытную картину поведения контура дельты во времени при условии неизменной волатильности на всем сроке его жизни.

Очевидно, если возникает желание оставаться нейтральным по отношению к рынку, надо составить синтетический стрэддл с нулевой дельтой. Когда есть возможность вводить любое количество базовых активов, с этим нет никаких проблем. Мы просто покупаем или продаем число акций, необходимое для обеспечения дельта —нейтральности позиции в целом. Расчет основывается на формуле, определяющей экспозицию опционной части стратегии, показывающей, сколько следует купить или продать базовых активов для получения в целом нулевой экспозиции стратегии.

Общая формулировка, позволяющая выяснять необходимую позицию по рынку и количество базовых активов, выравнивающих стратегию до нейтрального состояния, может быть представлена в таком виде: Экспозиция = количество базовых активов +
+ количество опционов X число базовых активов на опцион X дельта опциона.

«Количество» берется с тем знаком, которым обозначают длинные или короткие позиции при записи сделок: длинные позиции со знаком « + », короткие — с « — ». Если левую часть уравнения (экспозицию) приравнять нулю, мы получим уравнение, позволяющее сразу выяснять состав дельта — нейтральной стратегии: Количество базовых активов =
= —дельта опциона X количество опционов X число базовых активов на опцион.

Например, если дельта опциона колл «у денег» равна 0.55, продажа 55 акций при покупке одного колла ( = — 1 X 0.55 X 100 = — 55 ) обеспечит нейтральную по отношению к рынку позицию, когда целью является покупка волатильности. Альтернатива из опционов пут с той же ценой исполнения, что и колл (дельта пута равна — 0.45), потребует покупки 45 акций вместе с длинным опционом пут ( = —1 X — 0.45 X 100 = 45 ). Продажа волатильности при создании стратегии на условиях дельта — нейтральности может быть достигнута покупкой 55 акций против проданного опциона колл ( = — (— 1) X 0.55 X 100 = 55 ). Работая с опционами пут, мы будем продавать 45 акций против одного короткого пута( = -(-1) X -0.45 X 100 = -45).

Если же интересы сосредоточены на фьючерсном рынке, для построения дельта — нейтральной стратегии нам почти наверняка придется ввести мультипликатор для обеих частей уравнения, позволяющий получить целое значение в его левой части. Наиболее практичным представляется всегда использовать мультипликатор, равный 100, после чего выполнять сокращения в левой и правой части уравнения, если они возможны. В принципе, можно принять, что для создания дельта —нейтральной покупки или продажи волатильности мы начинаем анализ с размера позиции в 100 опционов.

Таблица 3-5.   Выяснение 20 декабря 2001 г. состав дельта—нейтральной стратегии покупки волатильности по мартовскому (2002 г.) фьючерсу на швейцарский франк

Наименование	Дельта	Кол—во фьючерсов для 100 опционов	Коэффициент сокращения	Дельта—нейтральная стратегия
Март—61—колл	+ 0.54	-54	2	лонг 50 опционов колл и шорт 27 фьючерсов
Март—61.50—колл	+ 0.48	-48	4	лонг 25 опционов колл и шорт 12 фьючерсов
Март—61— пут	-0.45	+ 45	5	лонг 20 опционов пут и лонг 9 фьючерсов
Март—61.50—пут	-0.51	+ 51	1	лонг 100 опционов пут и лонг 51 фьючерс

Например, создавая дельта — нейтральную стратегию покупки волатильности по мартовскому фьючерсу на швейцарский франк, торгуемому 20 декабря 2001 г. по 61.30 (до истечения опционов 79 дней), мы имеем близлежащие цены исполнения 61 и 61.50, которые можно использовать. Результаты просмотра альтернатив представлены в таблице 3 — 5. Обратите внимание: мы сейчас рассматриваем только фактор дельты и не принимаем во внимание иные соображения, которые необходимо учитывать при создании позиции (лимит на позицию, ликвидность рынка и пр.).

Просматривая выявленные варианты дельта — нейтральной стратегии, можно понять: если нестрого придерживаться условия нейтральности по рынку, существует возможность уменьшить объем позиций, входящих в портфель. Но в этом случае мы обязательно получим крен стратегии в длинную или короткую сторону, величина которого будет зависеть от допускаемой погрешности. Обращаясь к обсуждениям проблем моделей, математического аппарата и программного обеспечения, помогающих нам в расчетах, а также точности рыночных данных, становится понятно, что вероятность неточного расчета дельты может быть велика, поэтому допуск на ошибку просто необходим. Например, если мы допускаем погрешность в 10%, это позволило бы нам создать стратегию, состоящую из двух опционов и одного фьючерса. В каждом из четырех вариантов, обусловленных ценами исполнения, возникнет небольшой перекос в экспозиции в длинную или короткую сторону.

Мы сейчас рассматривали пример на реальном рынке, где цены исполнения опционов редко бывают в состоянии «у денег». В реальности точное соответствие может наблюдаться секунды, после чего об этом можно говорить только приблизительно. Иногда, по тем или иным причинам, требуется применить опцион, который в сравнении с доступными для использования опционами в текущий момент времени уверенней можно охарактеризовать как «у денег». Причиной может являться ликвидность (например, близлежащие опционы по разному «расторгованы», что создает излишний операционный риск), либо мы наблюдаем аномальные изгибы волатильности, позволяющие получить какое-либо преимущество. Как бы там ни было, но у нас есть в этом потребность, поэтому попытаемся решить эту проблему.

Выход прост: используя различные опционы, мы всегда можем создать опцион с заранее заданной ценой исполнения, дельтой, гаммой и т.д., если нас не удовлетворяют параметры торгуемых на рынке. Рассмотрим простейший случай, используя данные таблицы 3 — 5. Предположим, нам нужно создать опцион с ценой исполнения 61.30, который будет действительно «у денег», в отличие от доступных цен исполнения 61.00 и 61.50. Найдем соотношение между ценовыми диапазонами, образованными, с одной стороны, между заданной и нижележащей, реально торгуемой ценой исполнения (61.00 — 61.30), а с другой — между заданной и вышележащей, реально торгуемой ценой исполнения (61.50 — 61.30). Они соотносятся как 3 к 2 (0.30 к 0.20), что означает: если мы возьмем два нижележащих опциона и три вышележащих, то получим пять опционов, цена исполнения которых будет равна 61.30. Формальное описание процедуры:
1.  Сначала находится соотношение соотношение _ вышележащий —создаваемый диапазонов     создаваемый—нижележащий' где «вышележащий» означает цену исполнения вышележащего опциона, «нижележащий» — цену исполнения нижележащего опциона, «создаваемый» — цена исполнения создаваемого опциона.

1. Потом полученное соотношение надо преобразовать так, чтобы в нем присутствовали только целочисленные величины.
2. После этого числитель показывает нам, сколько нижележащих опционов, а знаменатель — вышележащих требуется ввести в позицию, чтобы все вместе они образовали опционы с ценой исполнения, равной требуемой.

Какова будет средняя дельта опционов колл для опционов на фьючерс по швейцарскому франку (табл. 3 — 5), полученных через такой алгоритм? Суммирование с последующим вычислением дельты одного контракта быстро дает нам ответ 0.504:0.504=0.54x2-0.48x3 5

Аналогичную процедуру можно было бы применить к дельте, гамме или к другой иной задаваемой характеристике: в этом случае вместо ценовых значений надо использовать соответственно дельты, гаммы и пр. Конечно же, задавать тоже следует дельту, гамму либо другую искомую характеристику — в зависимости от поставленной задачи. Фактически, это синтезирует опцион, чьи характеристики будут результатом усреднения. Предположим, нам требуется получить опцион колл с дельтой 0.50. Для того же примера с опционами на швейцарский франк мы получим, что один нижележащий (цена исполнения 61.00) и два вышележащих (цена исполнения 61.50) опционов дадут нам три опциона, средняя дельта которых будет равна 0.50.
Соотношение получается как 1 к 2: J_ ( 0.48-0.50 _ -0.02 2 Г 0.50-0.54 ~ -0.04

Значит, соединение одного нижележащего опциона и двух вышележащих даст нам в сумме дельту, выраженную в терминах одного контракта, равную 0.50. Естественно, экспозиция опционных позиций будет равна 1.50, то есть полтора фьючерсных контракта на швейцарский франк. Только что изложенное навевает нерадостные мысли о том, что подобные позиции требуют повышенного капитала, ведь чтобы достичь дельта — нейтральной покупки волатильности, в только что изложенном варианте нам требуется на каждые три коротких фьючерса покупать два 61.00 и четыре 61.50 опциона колл. Это потребует как минимум $4500 первоначальной маржи для фьючерсов и выплаты около $9000 премии по опционам.

К счастью, рынки производных еще далеки от насыщения и биржи активно выпускают в оборот новые продукты. Наиболее интересны в этом отношении мини-контракты, представляющие собой уменьшенный «большой» фьючерс. В случае со швейцарским франком они отсутствуют, а скажем, на иену и евро существуют. Если есть подобный вариант, можно воспользоваться этим обстоятельством и вместо трех фьючерсов использовать соответствующее число мини-контрактов (обычно мини-контракты выпускаются в пятикратном или двукратном уменьшении номинального размера торгуемого контракта), что существенно расширяет возможности как в поиске альтернатив первоначальной позиции, так и ее последующего менеджмента.

В любом случае, как бы мы ни старались, но создать абсолютно дельта — нейтральную стратегию достаточно тяжело, да и не всегда это требуется. Кроме того, даже при ориентации на нейтральные по отношению к рынку стратегии обычно существует какое-то мнение о нем, что допускает небольшой перекос в стратегии, который в огромном числе случаев не оказывает чрезмерно негативного воздействия. Значительно большее влияние на размер позиций оказывает управление стратегией, обсуждаемое дальше.