Проблемы моделей ценообразования опционов связаны с выдвигаемыми гипотезами. Например, классические предположения модели Блэка—Шоулза основаны на: 1) Отсутствии налогов и транзакционных издержек; 2) Отсутствии выплаты дивидендов по акциям в течение всего срока действия опциона; 3) Отсутствии ограничений на продажу акций с коротких позиций; 4) Существовании возможностей ссуд и займов при отсутствии риска; 5) Возможности мгновенно корректировать состав портфеля; 6) Исполнении опциона только по истечении срока.

Можно заметить: почти все положения, оказывавшие существенное влияние в прошлом, сегодня допустимо игнорировать, полагая ничтожность их воздействия. Действительно, операционные издержки неуклонно снижаются, и достаточно часто их разумно отнести к незначительно влияющим факторам. Прозрачность границ для инвесторов позволяет им действовать на иностранных рынках, выступая в качестве нерезидентов, что освобождает от налогового бремени. Кроме того, операции с опционами на многих рынках приводят к извлечению налоговых льгот, распространяющихся на другие инвестиционные активы, поэтому в большом числе случаев налоги оказывают малое влияние на стоимость опциона.
В 90-х годах цели инвесторов претерпели изменения, и получение дивидендов перестало быть актуальным, как это наблюдалось ранее. Самый поверхностный обзор показывает: подавляющая часть компаний выплачивает невысокие дивиденды либо вовсе не прибегает к этому способу мотивации инвесторов. И как мы видели ранее, поправки к модели позволяют внести изменения в модель таким образом, чтобы дивиденды учитывались в стоимости опциона.

В настоящее время на развитых рынках практически отсутствуют ограничения на короткие позиции, более того — можно заметить тенденцию, способную привести к устранению даже такого ограничения, как продажа на «повышающемся тике» (up tick). Стремление расширить инвестиционные возможности привело к практически автоматической выдаче брокерами ссуд инвесторам, обеспечивая беспрепятственную возможность маржевой торговли. Торговая активность, стимулированная интернет-технологиями в инвестиционной индустрии и подкрепленная онлайновыми торговыми системами, позволяет инвесторам практически моментально совершать сделки, что эквивалентно по смыслу мгновенной корректировке портфеля.

Хотя основная модель предполагает исполнение опциона только по истечении срока, что представляется серьезным препятствием для ее применения к опционам американского стиля, тем не менее в большом числе случаев данное положение можно игнорировать. Во-первых, практикуемый способ определения величины подразумеваемой волатильности затушевывает проблему. Во-вторых, пока опционы не оказались «глубоко в деньгах», риск досрочного исполнения невелик, поэтому ассоциативно можно полагать, что большинство опционных контрактов, оказавшихся «в деньгах», будет исполнено непосредственно в дату истечения, либо в непосредственной близости от нее — обычно в течение нескольких предшествующих дней. В-третьих, определенную часть опционов можно оценивать, игнорируя модель и основываясь на здравом смысле, — выше мы уже обсудили ситуацию с опционами, оказавшимися настолько «глубоко в деньгах», что подразумеваемая волатильность оказывается нереалистично высокой, если пытаться использовать стандартную модель.

Наиболее важное предположение, вводимое моделью Блэка —Шо-улза, связано с гипотезой о логнормальности распределения цен. Аналогично построены и другие модели, предназначенные для оценки биржевых опционов. Это обоснованно, хотя в определенной степени спорно. Как результат, в различных источниках и программах, в зависимости от взгляда ее разработчиков на проблему, можно встретить вычисления цены опциона по той же модели Блэка — Шоулза, использующие как натуральный, так и десятичный логарифм.
С учетом особенностей специфического рынка могут закладываться другие гипотезы, связанные с характером распределения цен: нормального, Стьюдента, Парето либо какого-то другого. Например, предположение об экспоненциальной форме вероятностного распределения, строго говоря: распределения Паскаля, характеризующегося высоким центральным пиком и длинными «хвостами», — позволяет получить модель, неплохо проявляющую себя на казначейских бумагах:

Опцион колл -е х у ; Опцион пут = е        р   х -у, где е — среднее абсолютное отклонение изменения цены. Период расчета для «беты», ориентированной на предыдущее поведение, обычно согласовывают со сроком истечения опциона.

Использование той или иной модели дает несколько различающую картину рынка и анализируемой позиции. В результате, выглядевшие заманчивыми, стратегии способны предстать в ином свете, выказывая свою неспособность делать деньги. Скажем, используя только что приведенные формулировки, основывающиеся на распределении Паскаля, мы получим более высокие стоимостные оценки опционов «вне денег» по сравнению с моделью Блэка — Шоулза или Блэка. В зависимости от степени расхождения между историческими и ожидаемыми оценками в отношении волатильности, стоимость опциона «у денег» может оказаться одинаковой, либо дать более высокую оценку для распределения Паскаля.

Но вот что интересно: какую бы модель мы ни взяли и какие бы вероятностные распределения ни применяли, нам всегда удастся получить стоимостную оценку, соответствующую текущему состоянию рынка, если будем выяснять подразумеваемую волатильность на основании последних рыночных котировок. А в модели, прибегающей к распределению Паскаля, — менять период или вводить предположения относительно будущей величины среднего абсолютного изменения цены, попутно включая поправки для «хвостов», а также растущего и снижающегося рынка. Можно попытаться выяснить стоимость опциона с помощью биномиальной модели, но в нее все равно придется вводить предположения о величине вероятного изменения цен. Таким образом, какая бы модель ни использовалась, нам всегда приходится выдвигать предположения относительно волатильности, которую мы пытаемся выяснить тем или иным образом, введя ее потом в какую-либо модель.

Следующая проблема связана с временным параметром. Существует мнение: если исходить из реальности, правильно ли применять временной параметр в виде части года? Может быть, имеет смысл использовать долю от числа рабочих дней? В существующих моделях выяснение приведенной стоимости основывается на стандартных процедурах экономической математики, но насколько достоверно она работает на сегодняшних, чрезвычайно волатильных рынках? Поэтому нельзя быть полностью уверенным в корректности алгоритма оценки времени, оставшегося до даты погашения. Посмотрите: проводя изучение ценовых движений и волатильности, мы исключаем из расчетов нерабочие дни. Тогда почему же нам следует делить число дней до даты истечения на 365, а не на 253, если мы исследуем американский рынок, либо на иное число при работе на другом рынке? (Для облегчения расчетов можно использовать 256 — дневную базу, потому что квадратный корень из 256 есть целое число.) Фактически, если отталкиваться от данного посыла, модель нам все равно будет давать те же сведения относительно цены опциона. Единственное, что изменится — подразумеваемая волатильность, которая окажется выше в сравнении ценовой моделью, где используется 365—дневная база.

Наконец, существует еще одна проблема, связанная с вариантом ввода в модель ценообразования опционов волатильности и процентных составляющих (в представленном варианте модели — величины «В» и «R»). Подход основывается на использовании средних величин за период, с учетом ожидаемого срока их действия, либо более строго — проинтегрированных по времени. В этом есть определенный смысл, если доверять прогнозам, составленным по результатам анализа.

Все это заставляет задуматься над действенностью моделей вообще, и эта мысль способна повергнуть в шок любого, кто не обладает достаточным опытом работы с опционами. К счастью, в практической плоскости существует решение проблемы «верить» или «не верить», и оно достаточно простое. Известно: каждая биржа вводит правила, согласно которым осуществляются расчеты между контрагентами. Для выяснения риска и подведения итогов торговых сессий бирже необходимо знать ценовые значения торгуемых инструментов. Выяснить их на основании только рыночных данных не всегда возможно, так как существующая торговая активность опционных рынков не позволяет с должной степенью доверия относиться к рыночным ценам: в реальности сделка могла быть совершена очень давно, а котировки — обновляться недостаточно регулярно. Поэтому биржи вводят стандарты определения стоимости опционов, которые не являются тайной.

Поэтому вопрос доверия может быть разрешен выбором в пользу используемой биржей модели, принятой для данного рынка. Предположительно, она основывается на результатах исследований, выясняющих адекватность теории рынку. Как бы там ни было, но работающие на определенном рынке ориентируются на выбранный стандарт. Тем самым мы получаем наглядный опыт претворения в жизнь идеи о «самоисполняющихся» прогнозах: если большинство верит во что-то, именно так все и происходит. В данном случае большинству приходится просто верить, хотя и с определенной долей недоверия и скептицизма. Основываясь на представленных рассуждениях, можно сделать вывод: следует использовать ту модель, которая принята на данном рынке, не забывая, что мы имеем дело с теорией, рожденной абстракцией гения.

Некоторые рынки настолько преуспевают в своем следовании принятой модели, что на них можно наблюдать идеальную картину, развеивающую всякие сомнения в неспособности математической формулировки описать реальный рынок. Поэтому остается только надеяться, что наши расчеты не будут иметь большой погрешности — вот та единственная истина, которой можно полностью верить. А существование множества моделей, позволяющих строить предположения о стоимости опциона, — дополнительная возможность проверить достоверность прогноза и результатов, полученных при его использовании.